Stein梯度下降方法中粒子系统的收敛性与稳定性结果

最近，对Stein梯度下降方法（一种确定性采样算法）的分析引起了广泛兴趣。它基于一个粒子系统，该粒子系统沿着Kullback-Leibler散度的梯度流运动，朝向对应于目标分布的渐近状态。数学上，该方法可以表述为时间$t$和粒子数$N$趋于无穷的联合极限。我们首先观察到，Lu, Lu和Nolen (2019)的近期工作表明，如果$t \approx \log \log N$，则可以在Wasserstein距离下严格证明联合极限。不满足于这个时间尺度，我们通过研究方法的稳定性来探索更大时间下的行为：如果粒子初始时接近渐近状态（距离$\approx 1/N$），它们能保持接近多久？我们证明这在代数时间尺度$t \approx \sqrt{N}$上成立，这显著更好。所采用的方法由Caglioti和Rousset为Vlasov方程开发，基于寻找线性化方程的函数不变量。这允许消除线性项并得到改进的Gronwall型估计。