k-树与弦平面图的长路径及坚韧度

我们证明，对于 $k \geq 3$，每个坚韧度大于 $\frac{k}{3}$ 的 $k$-树都是哈密顿连通的。（特别地，坚韧度大于 $1$ 的弦平面图是哈密顿连通的。）这改进了 Broersma 等人 (2007) 的结果，并推广了 Böhme 等人 (1999) 的结果。另一方面，我们给出了最长路径很短的图。即，我们构造了 $1$-坚韧的弦平面图和 $1$-坚韧的平面 $3$-树，并证明该类的短指数分别为 $0$ 和至多 $\log_{30}{22}$。两者均改进了 Böhme 等人的界。此外，该构造还提供了坚韧度大于 $1$ 的 $k$-树（对于 $k \geq 4$）。