随机界面的局域化-退局域化现象

我们考虑 $d$ 维随机曲面模型，其中 $d=1$ 时为标准（固定端）随机游走（视为随机“弦”）。在更高维中，随机游走的一维（离散）时间参数被 $d$ 维格点 $\Z^d$ 或其有限子集替代。随机曲面由实值随机变量 $\phi_i$ 表示，其中 $i\in\Z^d$。标准随机游走的一类自然推广是梯度模型，其律（形式上）表示为 $P(d\phi) = 1/Z \exp[-\sum_{|i-j|=1}V(\phi_i-\phi_j)] \prod_i d\phi_i$，$V:\R \to R^+$ 凸，并满足某些增长条件。此类曲面在理论物理中作为分隔不同相的随机界面（简化）模型被引入。特别令人感兴趣的是局域化-退局域化现象，例如曲面通过与壁的吸引或排斥相互作用（或二者兼有）相互作用的情形。另一例是所谓具有噪声诱导相互作用的杂聚物。近来，针对此类问题发展了若干新的概率工具。其中包括：o Helffer-Sjöstrand 型的随机游走表示，o 多尺度分析，o 与随机捕获问题及大偏差的联系。我们综述其中若干进展。