二维及以上随机环境中条件随机游走在边界处的局部化

我们针对 $\mathbb{Z}^d$ 上独立同分布且一致椭圆的随机环境中的条件随机游走，在二维及以上维度引入了“边界处局部化”的概念。直观地说，这意味着对于足够大的 $n$，游走在时刻 $n$ 于某个满足 $|x|_{1}=n$ 的点 $x\in \mathbb{Z}^{d}$ 处花费了不可忽略的时间量。在二维和三维中，我们证明了（几乎）所有游走都发生局部化。相反，对于 $d\geq 4$，在形如 $\omega_{\varepsilon}(x,e)=\alpha(e)(1+\varepsilon\xi(x,e))$ 的环境中出现了相变，其中 $\{\xi(x)\}_{x\in \mathbb{Z}^{d}}$ 是独立同分布的随机变量序列，$\varepsilon$ 表示相对于简单随机游走的无序程度。证明涉及一个将局部化与淬火和退火速率函数在边界处相等或差异联系起来的判据。