基于局部Taylor展开的多项式准Trefftz空间用于一阶线性方程

Trefftz型Galerkin方法用于数值偏微分方程，采用问题相关函数的离散空间。虽然Trefftz方法利用对控制方程的精确解的局部离散空间，但Taylor型准Trefftz方法利用对控制方程的近似解的局部离散空间。在后者情况下，这种近似解以小Taylor余数的意义下定义，适用于光滑变系数的微分算子。在两种情况下，都可以使用远小于标准多项式空间的离散空间来实现相同的近似阶数。本文是对局部Taylor展开的多项式准Trefftz空间进行系统性研究，后者被定义为准Trefftz算子的核，即Taylor截断与微分算子组成的算子。我们提出的线性代数框架揭示了该线性算子的一般结构，并适用于任何具有光滑系数的非平凡一阶线性标量微分算子。结果是一个完全明确的程序，用于构造在任意维度和任意阶数的算子上有效的局部准Trefftz基，保证了这些方程相关基构造的最小计算成本。局部准Trefftz空间形式上定义为线性算子在多项式空间之间的核。系统方法依赖于对该算子结构的详细研究，充分利用了多项式空间的分层结构。