具有确定性和随机系数的参数化偏微分方程的拟最优多项式逼近分析

在这项工作中，我们提出了一种分析拟最优 Taylor 和 Legendre 逼近收敛性的广义方法，适用于具有有限维确定性和随机输入的一大类参数化椭圆型偏微分方程。此类方法构造了一个与多项式系数的精确估计相对应的最优指标集。我们的分析进一步代表了一种通过系数界来估计最佳 M 项逼近误差的新方法，而无需使用 Stechkin 不等式。我们提出的用于分析渐近截断误差的框架基于将底层的多指标集扩展到连续域，然后通过其 Lebesgue 测度来逼近基数（整数多指标的数目）。我们探索了多种类型的各向同性和各向异性（加权）多指标集，严格的证明揭示了精确的渐近误差估计，其中我们关于总自由度数实现了形如 $M \exp(-(\kappa M)^{1/N})$ 的次指数收敛速率（其中 $\kappa$ 是一个依赖于多指标集形状和大小的常数）。通过若干理论实例，我们显式地导出了常数 $\kappa$，并利用所得的精确界说明了 Legendre 逼近相对于 Taylor 逼近的有效性，并将我们的收敛速率与当前已发表的结果进行了比较。计算证据补充了理论，并展示了我们的广义框架相较于先前发展的估计的优势。