利用稀疏性进行参数椭圆 PDE 的稀疏多项式逼近及在参数化区域上的应用

本研究探讨了对于依赖于参数的、空间分布式的椭圆偏微分方程（PDEs）输入，其表示方式的选择如何影响基于泰勒展开的、参数到解映射的多项式代理模型的效率。特别地，我们展示了使用具有局部支撑的函数的表示方式的潜在优势。作为模型问题，我们考虑稳态扩散方程，其中扩散系数和右端项光滑地、但可能以高度非线性的方式依赖于参数 $y\in [-1,1]^{\mathbb{N}}$。继仿射参数依赖与对数正态情形的先前工作之后，我们使用逐点而非范数意义下的界，来证明解之泰勒系数的 $\ell^p$ 可和性。作为应用，我们考虑参数区域上椭圆 PDE 解的代理模型。利用到标称构型的映射，该情形契合一般框架，并且当通过空间局部化函数对参数化边界建模时，可获得更高的收敛速率。理论结果得到了参数区域问题的数值实验支持，说明了所提方法的效率并进一步洞察了数值方面。尽管这些方法和思想是针对稳态扩散方程展开的，但它们容易推广到其他椭圆和抛物型 PDE。