自由作用代数刻画的局部证明

设 $G$ 为作用在紧 Hausdorff 拓扑空间 $X$ 上的紧 Hausdorff 拓扑群。在 $X$ 上所有连续复值函数构成的 $C^{*}$-代数 $C(X)$ 中，存在 Peter-Weyl 代数 $\mathcal{P}_G(X)$，它是 $G$ 在 $C(X)$ 上作用的等典型分量的（纯代数）直和。我们证明，$G$ 在 $X$ 上的作用是自由的，当且仅当规范映射 $\mathcal{P}_G(X)\otimes_{C(X/G)}\mathcal{P}_G(X)\to \mathcal{P}_G(X)\otimes\mathcal{O}(G)$ 是双射。此处两个张量积均为纯代数的，且 $\mathcal{O}(G)$ 表示 $G$ 上“多项式”函数的 Hopf 代数。