多重排列图的列表着色与总着色

设 $k$ 和 $\ell$ 为正整数。多重星转置图 ST$_k^\ell$ 的顶点是由 $k\ell$ 位字符串 $v_0\cdots v_{k\ell-1}$ 组成，其中每个符号重复出现 $\ell$ 次，边由转置 $(v_0\;v_i)$ 给出，其中 $v_i\ne v_0$（$0<i<k\ell$）。对于 $k>1$ 且 $\ell>2$，证明 ST$_k^\ell$ 是 $(\ell-1)$-可选的，并且结果表明它允许总着色。为了证明此类断言，推广了图的有效支配集（即 E 集）的概念至 $\ell>1$ 的情况，即有效支配$\,^\ell$-集，并应用于图 ST$_k^\ell$，显示它们允许将顶点划分为一般化 ST$_k^1$ 的 Dejter-Serra E 集划分，但不以距离为 3 的方式实现有效支配。然而，在此意义下，$ST^2_k$ 和相关的 2-集 pancake 排列图 PC$^2_k$ 等中间排列图被证明允许用 $2k-1$ 种颜色进行总着色，这决定了将顶点划分为 $2k-1$ 个 E-集的划分，其中每个 E-集的距离为 3。此外，还检查了相关的 E-链。