星系统中的染色

$e$-星是完备二部图$K_{1,e}$。阶为$n>1$的$e$-星系统$S_e(n)$是将完备图$K_n$的边划分为$e$-星的一个划分。若其顶点集可被划分为$k$个集合（称为色类）使得无$e$-星为单色，则称$e$-星系统是可$k$-染色的。$S_e(n)$是$k$-色的若$S_e(n)$可$k$-染色但不可$(k-1)$-染色。若$e$-星系统的每个$k$-染色均可由某个$k$-染色$\phi$经颜色置换得到，则称该系统是唯一$k$-染色的。本文中，我们首先证明对任意整数$k\geq 2$，对所有足够大的可容$n$，存在阶为$n$的$k$-色3-星系统。接着，我们将此结果推广至任意$e\geq 3$的$e$-星系统。我们证明对所有$k\geq 2$与$e\geq 3$，对所有满足$n\equiv 0,1$ (mod $2e$)的足够大$n$，存在阶为$n$的$k$-色$e$-星系统。最后，我们证明对所有$k\geq 2$与$e\geq 3$，对所有满足$n\equiv 0,1$ (mod $2e$)的足够大$n$，存在唯一$k$-色的$e$-星系统。