线性退化 PDE 与二次线丛

二次线丛是由 Plücker 坐标中的单个二次关系指定的射影空间 $P^3$ 中的三参数线族。固定 $P^3$ 中的一点 $p$ 并取通过 $p$ 的所有该丛中的线，我们得到一个顶点在 $p$ 的二次锥面。这一族锥面为 $P^3$ 赋予了共形结构。与此共形结构相关联的是一个三维二阶拟线性波动方程。我们证明了以此方式产生的任何 PDE 都是线性退化的；此外，任何线性退化 PDE 都可以通过此构造获得。这提供了将线性退化波动方程分类为十一种类型的方法，这些类型由相关二次丛的 Segre 符号标记。我们对相关的共形结构为共形平坦的 Segre 类型进行了分类，也对相应的 PDE 可积的 Segre 类型进行了分类。