完全图 $K_4$ 和 $K_5$ 在 $\mathbb R^3$ 中的线性构型及高维类比

我们研究了单纯形 $X$ 的线性嵌入骨架在 $\mathbb R^n$ 中的像空间 $C(X)$，针对两个余维数为2的复形族，每个族随 $n$ 变化。第一个族中，$X=K$ 是 $n$ 维单纯形的 $(n-2)$ 维骨架。第二个族中，$X=L$ 是 $(n+1)$ 维单纯形的 $(n-2)$ 维骨架。主要结果是：对于 $n>2$，$C(X)$（对于 $X=K,L$ 两者）形变收缩到一个子空间，该子空间同胚于双映射柱面 $$SO(n)/A_{n+1}\leftarrow SO(n)/A_n\rightarrow SO(n)/S_n,$$ 其中 $A_n$ 是交错群，$S_n$ 是对称群。由此得到的基本群提供了辫群的一个推广例子，辫群是平面中点构型的基本群。对于 $n=3$ 的情况，给出了该群的表示及其在 $F_3$ 上的作用。