点的构型空间、对称群与多变量多项式

记 $C_n(X)$ 为 $X$ 中 $n$ 个相异点的构型空间，其中 $X$ 为欧氏 $3$-空间 $\mathbb{E}^3$、双曲 $3$-空间 $\mathbb{H}^3$ 或 $\mathbb{C}P^1$；记 $\mathscr{P}_{k,d}$ 为变量 $z_0, \ldots, z_k$ 的 $d$ 次齐次复多项式的向量空间；记 $\mathrm{Obs}^n_d$ 为 $\{1,\ldots,n\}$ 的所有 $d$-子集的集合。对称群 $\Sigma_n$ 通过置换 $n$ 个点作用于 $C_n(\mathbb{R}^3)$，并以自然方式作用于 $\mathrm{Obs}^n_d$。当 $n = k+d$ 时，空间 $\mathscr{P}_{k,d}$ 的维数为 $\binom{n}{d}$，这也等于 $\mathrm{Obs}^n_d$ 中元素个数。因此自然提出以下问题：是否存在一族连续映射 $f_I: C_n(X) \to \mathbb{P}\mathscr{P}_{k,d}$（其中 $I \in \mathrm{Obs}^n_d$，此处 $\mathbb{P}$ 为复射影化），满足对所有 $\sigma \in \Sigma_n$ 与所有 $\mathbf{x} \in C_n(X)$ 有 $f_I(\sigma.\mathbf{x}) = f_{\sigma.I}(\mathbf{x})$，并且对每个 $\mathbf{x} \in C_n(X)$，多项式 $f_I(\mathbf{x})$（$I\in \mathrm{Obs}^n_d$）——每个定义到一个标量因子——在 $\mathbb{C}$ 上线性无关？针对欧氏与双曲这两种情形，我们提供了两组紧密相关的光滑候选映射，若线性无关系列猜想成立，它们即为上述问题的解。我们的映射是 Atiyah-Sutcliffe 映射的自然推广。此外，对于 $X = \mathbb{C}P^1$，我们得到了上述问题的两种实际解的构造，因为我们证明了最后这两种构造的线性无关性。最后这两种构造具有经典特征，可视为拉格朗日多项式插值的高维版本。它们似乎是新的。