非传统数组中多次返回次数的极限定理

对于 $\psi$-混合过程 $\xi_0,\xi_1,\xi_2,...$，我们考虑到固定数 $N$ 为止或到首次出现另一次多重返回 $\{\xi_{q_{i,N}(n)}\in\Delta_N,\, i=1,...,\ell\}$ 的时刻 $\tau_N$ 为止，对 $n$ 而言到集合 $\Gamma_N$ 的多次返回 $\{\xi_{q_{i,N}(n)}\in\Gamma_N,\, i=1,...,\ell\}$ 的次数 $\mathcal{N}_N$，其中 $\Gamma_N\cap\Delta_N=\emptyset$，且 $q_{i,N},\, i=1,...,\ell$ 是 $n$ 从 0 到 $N$ 取值时的某些取非负整数值的函数。$q_{i,N}(n)$ 对 $n$ 和 $N$ 两者的依赖是本文的主要创新点。在对函数 $q_{i,N}$ 的某些限制下，我们得到当计数至 $N$ 时 $\mathcal{N}_N$ 当 $N\to\infty$ 的泊松分布极限，以及当计数至 $\tau_N$ 时当 $N\to\infty$ 的几何分布极限。我们还在动力系统框架中得到了类似结果，考虑序列空间 $\Omega$ 上的 $\psi$-混合移位 $T$，并研究到首次出现另一次多重返回 $\{ T^{q_{i,N}(n)}\omega\in A^b_m,\, i=1,...,\ell\}$ 为止的多次返回 $\{ T^{q_{i,N}(n)}\omega\in A^a_n,\, i=1,...,\ell\}$ 的次数，其中 $A^a_n,\, A_m^b$ 分别是由序列 $a,b\in\Omega$ 构造的长度为 $n$ 和 $m$ 的柱集，并选取使得它们的概率具有相同阶。