$(GL_n, GL_k)$ 斜 Howe 对偶的极限形状与涨落

我们考虑通过在双 Cauchy 恒等式中对 Schur 多项式进行分段连续可微特殊化得到的 $n \times k$ 矩形中 Young 图上的概率测度。我们利用关联核的自由费米子表示来研究其渐近行为，并推导出 Young 图在极限 $n,k \to \infty$ 下的一致收敛到极限形状。更具体地说，我们证明体部由离散正弦核给出，边界涨落通常由 Airy 核对应的 Tracy-Widom 分布给出。当我们的极限形状触及矩形的边界角时，具有二阶修正的涨落由离散 Hermite 核给出，我们恢复了限制在主导阶的 Gravner-Tracy-Widom（2001）[arXiv:math/0005133] 的离散分布。最后，我们证明极限形状可以具有无粒子或粒子全密度的区域，当这样的区域无限小时 Pearcey 核出现。