格点问题中的极限律。IV. $\mathbb{Z}^{d}$ 的特殊情形

我们研究落在以 $0$ 为中心、坐标轴平行于坐标轴的膨胀且平移超立方体中的格点 $\mathbb{Z}^{d}$ 的点数误差。我们证明，若膨胀因子 $t$ 依概率测度 $\frac{1}{T} \rho(\frac{t}{T}) dt$ 分布，其中 $\rho$ 为 $[0,1]$ 上的概率密度，则当平移为 $X=(x,\cdots,x)$ 形式，以及当 $X$ 的各坐标相互独立、与 $t$ 独立且依 $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$ 上均匀分布时，误差经 $t^{d-1}$ 归一化后在 $T \rightarrow \infty$ 时依律收敛。两种情形下，我们计算了极限律的特征函数。