格点问题中的极限律。III. 回到盒子情形

我们研究属于某矩形（以 $0$ 为中心、其轴平行于坐标轴、经因子 $t$ 膨胀后由向量 $X \in \mathbb{R}^{2}$ 平移）的格点 $L$ 的点数误差。当我们考虑该误差相对于 $X \in \mathbb{R}^{2}/L$ 的二阶矩时，可证明：当 $t$ 随机且趋于无穷，且误差被一个在可容许情形下表现为 $\sqrt{\log(t)}$ 的量归一化时，其分布收敛于一个显式的正常数。对典型格点 $L$，我们证明该结果仍成立，但归一化更强，约为 $\log(t)$。我们还证明当 $L=\mathbb{Z}^{2}$ 时，误差被 $t$ 归一化后，在 $t$ 随机且趋于无穷时分布收敛，并我们计算了极限分布的矩。