格点问题中的极限律。II. 椭圆情形

我们研究落入以$0$为中心的膨胀椭圆内的单模格点数量的误差。我们首先证明，当误差由$\sqrt{t}$归一化（$t$为椭圆的膨胀参数），且$t$趋于无穷、格点为随机时，该误差的研究可化为对一个依赖于$t$的Siegel变换$\mathcal{S}(f_{t})(L)$的研究。进而，令$t \rightarrow \infty$，可见$\mathcal{S}(f_{t})$依律收敛于带随机权重的修正Siegel变换$\mathcal{S}(F)(\theta,L)$，其中$\theta$为第二个随机参数。最后，我们证明此最后一量几乎必然收敛，并研究其律的矩的存在性。