Levi-Civita 正则化与“弯曲”开普勒问题的测地流

我们为“弯曲开普勒”问题，即在具有任意常曲率和任意符号类型度规的位形空间中处于“开普勒-库仑”势下的运动，引入了 Levi-Civita 正则化参数。一致地使用该参数可以解决运动问题（轨道形状及沿轨道的时间演化），从而将 Levi-Civita 参数的应用扩展到平坦欧几里得位形空间中通常的开普勒问题之外。一种“普适”描述由此得出，其中所有关系均适用于任何空间和任何能量下的运动，无需分别讨论位形空间平坦或能量为零的情况。我们还讨论了该“弯曲开普勒”问题与测地流之间的联系。结果表明，Moser、Osipov 和 Belbruno 的著名结论在平坦欧几里得位形空间之外基本保持不变。在具有常曲率 $\kappa_1$ 和符号类型 $\kappa_2$ 的度规的任意弯曲位形空间中，运动常数 $\sigma:=-(2E - \kappa_1\kappa_2 J^2)$ 取固定值的“弯曲”开普勒运动，可以等同于在具有曲率 $\sigma$ 和相同符号类型度规的空间上的测地流。