一维 $\varepsilon$ 相关 Cahn-Hilliard / Allen-Cahn 方程的层动力学

我们研究一维 $\varepsilon$ 相关 Cahn-Hilliard / Allen-Cahn 方程在 $N$ 个转变层平衡态邻域内的动力学，该平衡态一般不守恒质量。考虑了两种不同设定，其区别在于：第二种设定中，我们在 $x=1$ 处以一个质量守恒约束替代了零质量通量边界条件之一。受 Carr 和 Pego 在 [10] 中关于 Allen-Cahn 层状亚稳态模式的研究，以及 Bates 和 Xun 在 [5] 中关于 Cahn-Hilliard 方程的研究的启发，我们分别构造了 $N$ 维和质量守恒的 $N-1$ 维流形；其中逼近了具有 $N$ 个转变层的亚稳态。然后，我们对两种情况确定了层的基本动力学（带运动方程的常微分方程组），以相对于所用流形的局部坐标表示。特别地，我们估计了线性化 Cahn-Hilliard / Allen-Cahn 算子的谱，并明确了作用于算子各部分的宽族 $\varepsilon$ 相关权重 $\delta(\varepsilon)$、$\mu(\varepsilon)$，使得动力学稳定且余项在 $\varepsilon$ 中指数小。我们的分析阐明了质量守恒在将一般混合问题分类为两大类中的作用：一类解剖面接近 Allen-Cahn，另一类在质量守恒时接近 Cahn-Hilliard 解。