Novikov-Veselov 族的 Lax-Sato 表述

我们构造了一个两两交换的流族 $d/dt_{i,n}$，指标为 $i \in \{1,2\}$ 和 $n \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$，作用于三元组 $(\mathcal{L}_1, \mathcal{L}_2, \mathcal{H})$ 上，其中 $\partial_1$ 和 $\partial_2$ 是两个交换的导子，$\partial_i \mathcal{L}_i$ 是 $\partial_i$ 中的自伴拟微分算子，而 $\mathcal{H}$ 是形式薛定谔算子 $\mathcal{H}=\partial_1 \partial_2 +u$。$\mathcal{L}_1, \mathcal{L}_2$ 和 $\mathcal{H}$ 通过关系 $\mathcal{H} \mathcal{L}_i+\mathcal{L}_i^* \mathcal{H}=0$ 耦合。我们证明流 $d/dt_{1,n}+d/dt_{2,n}$ 与对合 $(\mathcal{L}_1, \mathcal{L}_2, \mathcal{H}) \mapsto (\mathcal{L}_2, \mathcal{L}_1, \mathcal{H})$ 交换，并且该约化族的第一方程即为 Novikov-Veselov 方程。