线性扩散的最后通过时间及其在盒子清空时间中的应用

我们研究了线性扩散的最后通过时间的统计性质。首先，我们给出了最后通过时间概率密度拉普拉斯变换的初等推导，从而恢复了数学文献中的已知结果。随后我们在若干显式例子上加以说明。第二步，我们研究了与此类扩散相关的薛定谔算子在偶势 $U(x) = U(-x)$ 下的谱性质，揭示了所谓的 Weyl 系数所起的作用。事实上，在此情形下，我们的方法使我们能够关联对偶扩散（即受相反力场驱动的扩散）的最后通过时间，并获得平均最后通过时间的新显式公式。我们进一步表明，对于此类偶势，区间 $[0,t]$ 上平均最后通过时间在短时间 $t$ 展开涉及 Korteveg-de Vries 不变量，其在薛定谔算子理论中广为人知。最后，我们将这些结果应用于研究大小为 $L$、包含 $N$ 个受恒定漂移作用的独立布朗粒子的一维盒子的清空时间。在 $N \to \infty$ 和 $L \to \infty$ 且保持密度 $\rho = N/L$ 固定的标度极限下，我们证明清空时间的极限密度由 Gumbel 分布给出。我们的分析提供了极值统计在非平衡系统中应用的新例子。