由好的 $abc$ 三元组得到的大 Tate--Shafarevich 群阶

我们确定了椭圆曲线 $E$ 的 Tate--Shafarevich 群阶 $|\Sha|$ 的纪录值（由 Birch--Swinnerton-Dyer 猜想解析计算）以及 Goldfeld--Szpiro 比 $G=|\Sha|/\sqrt{N}$ 的纪录值，其中 $N$ 是 $E$ 的 conductor。这些曲线秩为零，并且与由满足 $a+b=c$ 且 $c>r^{1.4}$ 的互素正整数 $(a,b,c)$ 构造的 Frey 曲线的二次 twist 同构，其中根式 $r$ 是整除 $abc$ 的素数之积。在 20 个同构类中发现了 $|\Sha|>250000^2$ 且 $G>12$ 的曲线。三条曲线的 $G>150$。$|\Sha|$ 的最大值为 $1937832^2>3.755\times10^{12}$。这超过先前纪录的 3.5 倍以上，而先前纪录的计算代价约为新纪录的 600 倍。素数 25913、27457、36929 和 49253 被识别为 $|\Sha|$ 值的因子。