Weierstrass 函数图上的 Laplace 算子

Laplace 算子在偏微分方程的数学分析中起着主要作用。最近，J. Kigami 的工作并由 R. S. Strichartz 继承，使得在具有分形特征的图上局部定义一个相同性质的算子成为可能：Sierpinski 三角形、Sierpinski 地毯、钻石分形、Julia 集和 Barnsley 蕨。奇怪的是，由 K. Weierstrass 于 1872 年引入的 Weierstrass 函数图具有自相似性，但似乎在任何地方都未被考虑过。然而，从研究不规则结构中扩散现象的角度来看，这是一个必经之路。我们提出了以下问题：给定 Weierstrass 函数图上的一个连续函数 u，在什么条件下可以将其与一个在弱意义上为其 Laplace 算子的函数 Delta u 相关联？在下文中，我们展示了遵循 J. Kigami 和 R. S. Strichartz 的方法所获得的结果。我们的研究是在一个全新的框架下进行的，即 Sierpinski 气垫的仿射框架。首先，我们关注 Weierstrass 函数图上的 Dirichlet 形式，这使我们能够在该图上定义连续函数的 Laplace 算子（如果其存在）。该 Laplace 算子表现为收敛于 Weierstrass 函数图的一系列图上离散 Laplace 算子序列的重整化极限。与每个图 Laplace 算子相关的归一化常数是通过 Dirichlet 形式获得的。由此构建的 Laplace 算子的谱是通过谱递减获得的。