带质量项板方程解的 $L^p-L^q$ 估计

本文研究了带质量项的线性板方程的柯西问题及其在半线性模型中的应用。对于线性问题，我们获得了在完整范围 $1\leq p\leq q\leq \infty$ 内解的 $L^p-L^q$ 估计，并证明了这些估计是最优的。随后，我们讨论了具有幂非线性 $|u|^\alpha$ 的相关半线性问题的全局时间解存在性。对于低维空间 $n\leq 4$，并假设第二个数据具有 $L^1$ 正则性，我们证明了当 $\alpha> \max\{\alpha_c(n), \tilde\alpha_c(n)\}$ 时全局存在性，其中 $\alpha_c = 1+4/n$ 且 $\tilde \alpha_c = 2+2/n$。然而，假设初始数据在 $H^2(\mathbb{R}^n)\times L^2(\mathbb{R}^n)$ 中，质量项的存在使我们能够对所有 $1<\alpha \leq (n+4)/[n-4]_+$ 获得全局时间存在性。我们还证明了后一个上界是最优的，因为我们证明了存在这样的数据，当 $\alpha > (n+4)/[n-4]_+$ 时，局部弱解的不存在性结果成立。