Biot-Savart 算子核与像及其在天体磁轮设计中的应用

我们考察作用在 $W^{-\frac{1}{2},2}$ 正则、无散度、面积电流 $j$ 上的 Biot-Savart 算子\n\n\begin{gather} \nonumber \operatorname{BS}(j)(x)=\frac{1}{4\pi}\int_{\Sigma}j(y)\times \frac{x-y}{|x-y|^3}d\sigma(y)\text{, }x\in \Omega \end{gather}\n\n其中 $\Sigma$ 为一个连通面，且 $j$ 在其上无散度，$\Omega$ 为由 $\Sigma$ 边界所围成的有限域。我们回答了关于该算子两个问题。i) 我们提供了一个在理论上以指数级收敛到 Biot-Savart 算子核的元素的算法，同时以某些外部边值问题的解来刻画核的元素。这一结果允许在天体磁轮设计的电线重构过程中显式地利用该过程的非唯一性。ii) 我们给出了 Biot-Savart 算子像的简洁刻画。这使得可以定义一种两步电流重构程序，以获得近似于任意精度的面积电流，以实现预期的磁场在天体磁轮装置的等离子体区域内。第一步不需要计算形如 $\frac{x-y}{|x-y|^3}$ 的奇异积分核，但可能收敛速度较慢；而第二步则需要计算含有奇异积分核的积分，但具有（理论上）指数收敛速度。该近似程序始终导致近似于输入电流的面积电流。