Kac-Moody 代数与环面上的正则向量场 Lie 代数

我们考虑将由 $r\times r$ 不可分解广义 Cartan 矩阵 $N$ 指定的 Kac-Moody 代数 $\mathfrak{g}(N)$ 表示为环面 ${{\bb C}^*}^r$ 上向量场的问题。我们证明，若表示具有某种形式，则这是可能的当且仅当 $\mathfrak{g}(N)\cong sl(r+1,{\bb C})$ 或 $\tilde{sl}(r,{\bb C})$。对于 $sl(r+1,{\bb C})$ 和 $\tilde{sl}(r,{\bb C})$，我们构造了离散表示族。这些推广了将 $sl(2,{\bb C})$ 作为 ${\bb C}^*$ 上正则向量场的著名离散表示族。