对数极小模型的 Kac 边界条件

我们进一步发展了在一般对数极小模型 ${\cal LM}(p,p')$（其中 $1\le p<p'$ 且 $p,p'$ 互质）中实施和分析 Kac 边界条件的方法。在条带几何中，我们考虑 $(r,s)$ 边界条件，这些条件被组织成由 $r,s=1,2,3,...$ 标记的无限扩展的 Kac 表。它们与共形维数 $\Delta_{r,s}$ 由通常 Kac 公式给出的 Virasoro Kac 表示共轭。在由方格构建的宽度为 $N$ 的有限条带上，相关的可积边界条件是通过在真空 $(1,1)$ 边界上作用一个宽度为 $s-1$ 列的 $s$-型接缝和一个宽度为 $\rho-1$ 列的 $r$-型接缝而构造的。$r$-型接缝包含一个任意边界场 $\xi$。$r$-型接缝的通常融合构造依赖于限制其应用范围至 $r\le\rho<p'$ 的 Wenzl-Jones 投影子的存在。这一局限性最近被 Pearce、Rasmussen 和 Villani 消除，他们进一步猜想标记为 $r$ 的共形边界条件特别是对于 $\rho=\rho(r)=\lfloor \frac{rp'}{p}\rfloor$ 得以实现。在本文中，我们通过对交换双行转移矩阵及其相关的量子哈密顿量链进行广泛的数值计算，证实了这一猜想。令 $[x]$ 表示小数部分，我们将边界场固定为专用值：若 $[\frac{\rho}{p'}]=0$ 则 $\xi=\frac{\pi}{2}$，否则 $\xi=[\frac{\rho p}{p'}]\frac{\pi}{2}$。对于这些边界条件，我们通过将有限尺寸修正外推至尺寸 $N\le 32-\rho-s$ 的量子哈密顿量最低本征值，数值获得了 Kac 共形权重 $\Delta_{r,s}$。此外，通过求解局部反演关系，我们获得了边界自由能的一般解析表达式，从而能够更准确地估计共形数据。