整体域的$k$次幂剩余链

1974年，Vegh证明了若$k$为素数且$m$为正整数，则存在无穷多个素数具有$m$项$k$次幂剩余置换链[E.Vegh, $k$th power residue chains, J.Number Theory, 9(1977), 179-181]。事实上，他的证明表明$1,2,2^2,...,2^{m-1}$对无穷多个素数是$m$项$k$次幂剩余置换链。本文证明，对任意“可能的”$m$项序列$r_1,r_2,...,r_m$，存在无穷多个素数$p$使其成为模$p$的$m$项$k$次幂剩余置换链，其中$k$为任意正整数[见定理1.2]。由我们的结果可知，Vegh定理对任意正整数$k$成立，而不仅限于素数。实际上，我们在更一般的情形下证明了该结果，其中整数环$\Z$被替换为整体域（即代数数域或有限域上的代数函数域）的任意$S$-整数环。