$k$正则分解与完全非单位收缩算子的不变子空间

我们提出了关于收缩算子$k$正则分解的概念，推广了Sz.-Nagy和Foia\c{s}的经典正则分解概念，并建立了系统的分析框架。通过该概念，建立了与完全非单位收缩算子相关的不变子空间链 $$\mathcal{M}_1 \subseteq \cdots \subseteq \mathcal{M}_{k-1},$$ 与其所有$k$正则分解之间的一一对应。构造了相应的完全非单位收缩算子显式功能模型，并获得了不变子空间链的相关功能模型表示。最后提供了说明这些结果适用性的例子。此外，我们提出了对交换$k$收缩的对称$k$正则组合，证明当收缩的乘积具有有限维缺陷空间且在至少一种置换下为$k$正则时，该性质成立。重要的是，我们展示了由Parrott、Crabb-Davie和Kaijser-Varopoulos提供的交换$3$元组的经典反例未必是对称$3$正则组合。这一结构性失效突显了对称$k$正则性的重要性，并为进一步研究此属性以及交换$k$收缩的交换扩张理论提供了有前景的框架。