通过 Kac-Moody 形式论的破缺对称收缩

我通过 Kac-Moody 形式论研究收缩。特别地，我展示了标准二维开普勒系统的对称代数（被 Daboul 和 Slodowy 识别为无限维 Kac-Moody 环代数，并记作 ${\mathbb H}_2$）如何被对称破缺项约化，该项由哈密顿量定义 $$H(\beta)= \frac 1 {2m} (p_1^2+p_2^2)- \frac \alpha r - \beta r^{-1/2} \cos ((\phi-\gamma)/2).$$ 对于这个 $H (\beta)$，我通过不同地选取“基本生成元”定义了两个对称环代数 ${\mathfrak L}_{i}(\beta), i=1,2$。这些 ${\mathfrak L}_{i}(\beta)$ 可同构地映射到 ${\mathbb H}_2$ 的维数为 2 或 3 的余维子代数上，揭示了对称的约化。相对于相应的依赖于能量的理想 $I_i(E,\beta)$，两个因子代数 ${\mathfrak L}_i(\beta)/I_i(E,\beta)$ 对于 $E<0$ 和 $E>0$ 分别同构于 ${\mathfrak so}(3)$ 和 ${\mathfrak so}(2,1)$，正如纯开普勒情形一样。然而，当 $E \to 0$ 时它们给出两种不同的非标准收缩，即收缩到 Heisenberg-Weyl 代数 ${\mathfrak h}_3={\mathfrak w}_1$ 或到一个阿贝尔李代数，而不是纯开普勒情形的欧氏代数 ${\mathfrak e}(2)$。上述例子暗示了定义广义收缩的一般步骤，并也阐明了{\em ‘形变形变收缩迟滞’}，其中涉及两个收缩参数的收缩若以不同顺序取极限可给出不同的收缩代数。