耦合到引力与膨胀子的二维 $\sigma$ 模型的共形内禀对称性

约化到二维的广义相对论拥有一个交换经典解的大对称群。相关的李代数已知包含仿射 Kac-Moody 代数 $A_1^{(1)}$ 和实 Witt 代数的一半。在本文中，我们展示了在 $\Lie{A_1^{(1)}}$ 与 Witt 代数 $\Lie{\Wir}$ 的半直积下的完整对称性。此外我们展示了相应的隐规范对称性。我们表明该理论可以用涉及所有自由度的无穷维势空间来理解：膨胀子以及物质和引力。在膨胀子 sector 中，扩展先前已知 Lax 对的线性系统具有扭曲自对偶约束的形式，这是在更高时空维数中扩展超引力里出现的自对偶约束的类似物。我们的结果为两个谱参数（一个常数（$=y$）和一个变量（$=t$））同时出现提供了群论解释。它们适用于所有通过三维中 $G/H$ 模型耦合纯引力降维得到的 $2d$ 非线性 $\sigma$ 模型。在该情况下李代数为 $\Lie{\Wir \semi G^{(1)}}$；此对称性作用于一组离壳场（在固定规范中）并保留运动方程。