Pearcey过程的联合概率

本文是理解实直线上不相交布朗运动在粒子数变大时行为的一步。考虑$2k$个不相交布朗运动，皆始于原点，使得$k$条左路径在$t=1$时止于$-a$，$k$条右路径止于$+a$。Karlin-McGregor公式使得能用矩阵模型表达转移概率，该模型由带外源的Gaussian Hermitian随机矩阵链组成。我们证明该模型概率的对数满足一个具有四次非线性的四阶PDE，此PDE由3-分量KP族与Virasoro约束得到。当粒子数增长非常大时，粒子在$t=0$附近集中于两个区间，在$t=1$附近集中于一个区间。Pearcey过程是从两区间到一区间临界转移附近的无穷维扩散。有限模型PDE的适当标度极限导出Pearcey过程多时转移概率的非线性PDE。我们猜想在相变附近出现的每个Markov云（如Pearcey过程）都与某可积系统相关。此外，可积系统与相关Riemann-Hilbert问题间存在紧密联络。