不相交路径、无碰撞扩散过程与表示论

由一维对称简单随机游走构成、且在给定时间段内任意游走者均未相遇的系统称为恶徒游走（vicious walker）模型。该模型由 Michael Fisher 引入，并在其 Boltzmann 奖章演讲中描述了该模型在各种润湿与熔化现象中的应用。在本报告中，我们利用这一简单的扩散粒子系统解释表示论、概率论与随机矩阵论之间有趣的关联。每个 $N$ 个游走者的恶徒游走由时空平面上的 $N$ 元组不相交格路径表示。在不相交格路径与半标准 Young 表之间建立了简单的双射。基于该双射及称为 Schur 函数的对称多项式的一些知识，我们可以给出恶徒游走配分函数的行列式表达，这被视为概率论中 Karlin-McGregor 公式（或计数组合学中的 Lindstr\"om-Gessel-Viennot 公式）的特例。由于 Schur 函数的基本性质，我们可取恶徒游走的扩散缩放极限并定义 Brownian 粒子的无碰撞系统。该扩散过程求解带漂移项的随机微分方程，漂移项作为与粒子间距离成反比的排斥两体力，从而它被识别为 Dyson 的 Brownian 运动模型。换言之，所得 Brownian 粒子的无碰撞系统在分布上等价于 Hermitian 矩阵值过程的特征值过程。