从多点出发并到达多点的非相交布朗运动

考虑 $\mathbb{R}$ 上的 $n$ 个非相交布朗运动，依赖于时间 $t \in [0,1]$，其中 $m_i$ 个粒子在 $t=0$ 时被迫从 $a_i$ 出发，$1\leq i\leq q$，而 $n_j$ 个粒子在 $t=1$ 时被迫到达 $b_j$，$1\leq j\leq p$。对于任意的 $p$ 和 $q$，目前尚不清楚在给定时间 $0<t<1$ 时非相交布朗粒子位置的分布是否与矩阵系综特征值的联合分布相同。本文证明，对于一般的 $p$ 和 $q$，存在一个偏微分方程 (PDE)，该方程由在给定时间 $0<t<1$ 时找到所有粒子位于不相交区间并集 $E=\cup_{i=1}^{r}[c_{2i-1},c_{2i}]\subset\mathbb{R}$ 中的概率的对数所满足。变量是粒子起点和终点的坐标，以及集合 $E$ 的边界点。利用 Virasoro 约束和多分量 KP 层次，该 PDE 存在性的证明基于消除不需要的偏导数的方法；这之所以可能是奇迹。不幸的是，我们无法找到其显式表达式。$p=q=2$ 的情况将在最后一节讨论。