连接数、耳分解与 Castelnuovo-Mumford 正则度

我们引入了一类与简单图 $G$ 关联的多项式理想。令 $K[E_G]$ 为图 $G$ 的边上的多项式环，$K[V_G]$ 为图 $G$ 的顶点上的多项式环。我们通过映射 $K[E_G]\to K[V_G]$ 将边 $e=\{i,j\}$ 对应的变量 $t_e$ 映为其顶点对应变量之积 $x_ix_j$，并定义理想 $I(X_G)$ 为 $(x_i^2-x_j^2 : i,j\in V_G)\subseteq K[V_G]$ 在该映射下的原像。我们证明 $K[E_G]/I(X_G)$ 是一维 Cohen-Macaulay 分次环，$I(X_G)$ 是二项式理想，且关于固定单项式序，其初始理想具有独立于域 $K$ 的生成元集。我们重点研究 $I(X_G)$ 的 Castelnuovo-Mumford 正则度，给出以下精确的上下界：$$\mu(G) \leq \operatorname{reg} I(X_G) \leq |V_G|-b_0(G)+1,$$ 其中 $\mu(G)$ 是图的最大顶点连接数，$b_0(G)$ 是其连通分支数。我们证明下界对二部图可达，并利用此结果推导出关于嵌套耳分解中偶数长度耳数量的一个新组合结论。