二项边理想的 Castelnuovo-Mumford 正则性的组合性质

自 Herzog 等人以及独立地 Ohtani 引入二项边理想 $J_{G}$ 以来,将二项边理想的代数不变量与底层图 $G$ 的组合不变量相联系引起了极大兴趣。在此,我们着手研究 Herzog 和 Rinaldo 提出的一个关于块图的 Castelnuovo--Mumford 正则性的问题。为此,我们引入一个与任意简单图 $G$ 相关联的新不变量 $\nu(G)$,定义为在关于诱导子图的条件下,$G$ 内某类诱导路集合的最大总长度。我们证明对任意图 $G$,$\nu(G) \leq \text{reg}(J_{G})-1$,且 $G$ 的最长诱导路的长度小于或等于 $\nu(G)$;这改进了 Matsuda 和 Murai 的一个不等式。随后我们研究如下问题:何时 $\nu(G) = \text{reg}(J_{G})-1$?我们证明当 $G$ 是闭图时等式成立;这给出了 Ene 和 Zarojanu 结果的一个新刻画,且当 $G$ 是二部图且 $J_{G}$ 是 Cohen-Macaulay 时等式成立;这给出了 Jayanathan 和 Kumar 结果的一个新刻画。对于块图 $G$,我们证明 $\nu(G)$ 有一个不依赖于任何辅助选择的组合刻画,并证明 $\nu(G) = \text{reg}(J_{G})-1$。这为块图的 $\text{reg}(J_{G})$ 给出了一个组合解释,从而回答了 Herzog 和 Rinaldo 的问题。