超平面布置的雅可比理想及其graded Betti数

若超平面布置 $\mathcal{A}$ 的对应的雅可比理想 $J_\mathcal{A}$ 为Cohen-Macaulay，则称 $\mathcal{A}$ 为free的。若 $\mathcal{A}$ 为free的，则 $J_\mathcal{A}$ 为unmixed（即等维的）。自由性是重要性质，但其存在性尚未得到充分理解。特拉欧的猜想指出，$\mathcal{A}$ 的自由性仅取决于其交叉格。给定超平面布置 $\mathcal{A}$，我们定义理想 $J_\mathcal{A}^{top}$ 为 $J_\mathcal{A}$ 的维数为2的primary 组件的交。该理想为unmixed，但不一定为Cohen-Macaulay；若 $\mathcal{A}$ 为free的，则 $J_\mathcal{A} = J_\mathcal{A}^{top}$。我们发展新方法研究理想 $J_\mathcal{A}$ 和 $J_\mathcal{A}^{top}$，并以特拉欧猜想的 spirit 下展开研究，聚焦于 $J_\mathcal{A}^{top}$。该方法基于联结理论的新应用——$\mathcal{A}$ 的general residual。该残差理想定义的方案拥有意想不到的简单性质。这些性质使我们能够反向追踪至 $J_\mathcal{A}^{top}$。延续与Schenck的早期工作，我们识别出若干关于超平面布置的温和条件，可确保 $\Jac(f_\mathcal{A})^{top}$ 的Hilbert函数乃至其graded Betti数由交叉格决定。我们对超平面布置的全局Tjurina数建立了新型下界。对于线布置，证明 $\Jac(f_\mathcal{A})^{sat}$ 的graded Betti数决定 $\Jac(f_\mathcal{A})$ 及相应Milnor模 $J_\mathcal{A}^{sat}/J_\mathcal{A}$ 的graded Betti数。我们获得一种新的线布置自由性判据——该判据表明，若且仅当 $\mathcal{A}$ 为free时，相关的维数为2的理想具有最少的生成元个数，即两个。我们通过计算若干基本布置的graded Betti数来说明研究成果，这些布置以前的方法难以获取。