$\mathbb{CP}^n$ 中超平面排列的三宅-丘不等式

设 $\mathcal{H}$ 为 $\mathbb{CP}^n$ 中的超平面排列。我们在 $\mathbb{R}^{\mathcal{H}}$ 上定义一个完全由 $\mathcal{H}$ 的交集偏序集决定的二次型 $Q$。利用抛物丛的 Bogomolov-Gieseker 不等式，我们证明如果 $\mathbf{a} \in \mathbb{R}^{\mathcal{H}}$ 使得加权排列 $(\mathcal{H}, \mathbf{a})$ 稳定，则 $Q(\mathbf{a}) \leq 0$。作为应用，我们考虑所有权重相等的对称情况。不等式 $Q(a, \ldots, a) \leq 0$ 给出了 $\mathcal{H}$ 的余维数 $2$ 交集子空间重数总和的一个下界。当 $\mathcal{H}$ 中的每个 $H$ 都与 $\mathcal{H} \setminus \{H\}$ 中所有其他成员沿 $(1-2/(n+1))|\mathcal{H}| + 1$ 个余维数 $2$ 子空间相交时，下界可达；将 Hirzebruch 为复射影平面中线排列发现的条件从 $n=2$ 推广到高维。