超平面 arrangement 补集局部系统上同调的最高 Betti 数

设 $\mathcal{L}$ 为 $\mathbb{C}^\ell$ 中一个必然的复超平面 arrangement $\mathcal{A}$ 的补集 $M(\mathcal{A})$ 上的齐次局部系统。Dimca-Papadima 和 Randell 独立证明，$M(\mathcal{A})$ 与最小 CW 复形同伤等价。这意味着 $\dim H^k(M(\mathcal{A}),\mathcal{L}) \leq b_k(M(\mathcal{A}))$。本文我们证明：若 $\mathcal{A}$ 为实超平面 arrangement，则不等式在某个 $0\leq k\leq \ell$ 时等式成立当且仅当 $\mathcal{L}$ 为常系数层。本文的证明基于由 chamber 描述的 $M(\mathcal{A})$ 上局部系统同调的描述。