下中心级数与超平面排列的自由消解

若 $M$ 是一个超平面排列的补集，$A=H^*(M,\k)$ 是 $M$ 在特征为 0 的域上的上同调环，则 $\pi_1(M)$ 的下中心级数商的次秩 $\phi_k$ 可由 $\k$ 在 $A$ 上的（极小）自由消解的线性链中的 Betti 数 $b_{ii}=\dim_{\k} \Tor^A_i(\k,\k)_i$ 算出。我们利用 Cartan-Eilenberg 换环谱序列将这些数与 $A$ 在外代数 $E$ 上的（极小）消解的分次 Betti 数 $b'_{ij}=\dim_{\k} \Tor^E_i(A,\k)_j$ 联系起来。由此分析，我们恢复了 Falk 关于 $\phi_3$ 的公式，并得到 $\phi_4$ 的新公式。谱序列中低次项的正合列使我们能够回答 Falk 关于图排列的一个问题，并表明对此类排列，代数 $A$ 是 Koszul 的当且仅当该排列是超可解的。我们还给出 $A$ 在 $E$ 上的自由消解之线性链 Betti 数 $b'_{i,i+1}$ 的组合下界；若该下界在 $i = 2$ 时取等，则对所有 $i \ge 2$ 均取等。对此类排列，我们计算出消解的完整线性链，并证明 $A$ 的第一共振簇的所有分支都是局部的。对于图排列（除非不含辫子子排列，否则不达到下界），我们证明 $b'_{i,i+1}$ 由图中三角形与 $K_4$ 子图的数量决定。