基于 F_p 和 Z 的下中心级数理想商

给定分次结合代数 $A$，其下中心级数定义为 $L_1 = A$ 和 $L_{i+1} = [L_i, A]$。我们考虑连续商 $N_i(A) = M_i(A) / M_{i+1}(A)$，其中 $M_i(A) = A L_i(A) A$。这些商是分次分量的直和。我们的目的是描述这些分量的 $\mathbb{Z}$-模结构；即它们的自由部分和挠部分。在利用 {\it MAGMA} 进行计算机探索后，研究了两种主要情况。第一种考虑 $A = A_n / (f_1,\dots, f_m)$，其中 $A_n$ 是特征 $p$ 域上 $n$ 个生成元 $\{x_1, \ldots, x_n\}$ 的自由代数。关系 $f_i$ 是 $x_j^{p^{n_j}}$ 的非交换多项式，对某些整数 $n_j$。对于素数 $p > 2$，我们证明 $p^{\sum n_j} \mid \text{dim}(N_i(A))$。此外，我们确定了整除每个 $N_i(A)$ 的 Hilbert 级数的多项式。第二种涉及 $A = \mathbb{Z} \langle x_1, x_2, \rangle / (x_1^m, x_2^n)$。对于 $i = 2,3$，完全描述了 $N_i(A_2)$ 的双分次结构。