$\mathbb P^n$ 中超平面构形的奇点轨迹上支撑的概形

我们引入了连系加法（liaison addition）用于研究超平面构形。对于 $\mathbb P^n$ 中的超平面构形 $\mathcal A$，若 $R/J$ 是 Cohen-Macaulay 的，则 $\mathcal A$ 是自由的，其中 $J$ 是 $\mathcal A$ 的 Jacobian 理想。Terao 猜想认为 $\mathcal A$ 的自由性由 $\mathcal A$ 的交格的组合学决定。我们研究了另外三个均与 $\mathcal A$ 密切相关且均为非混合的理想。设 $\overline J = \mathfrak q_1 \cap \dots \cap \mathfrak q_s$ 为 $J$ 的高度为 2 的准素分支的交，并设 $\sqrt{J} = \mathfrak p_1 \cap \dots \cap \mathfrak p_s$ 为 $J$ 的根。我们的第三个理想为 $\mathfrak p_1^{b_1} \cap \dots \cap \mathfrak p_s^{b_s}$，其中 $b_1,\dots, b_s$ 为适当的数。在温和假设下，我们利用连系加法证明所有这些理想都是 Cohen-Macaulay 的。当假设不成立时，我们证明这些理想不一定是 Cohen-Macaulay 的，并且其中任何一个理想的 Cohen-Macaulay 性都不蕴含其他任何一个理想的 Cohen-Macaulay 性。虽然我们不研究 $\mathcal A$ 的自由性，但我们通过例子表明，即使对于具有相同组合学的构形，其 Betti 图也可能不同。随后我们研究了假设不成立时的情况。对于 $\mathbb P^3$ 中的等维曲线，连系理论中的 Hartshorne-Rao 模块逐度数地衡量了一个理想非 Cohen-Macaulay 的程度，并且也决定了此类曲线的偶连系类。我们证明，对于任意正整数 $r$，存在一个构形 $\mathcal A$ 使得 $R/\overline J$ 仅在一个度数上非 Cohen-Macaulay，且该失效程度为 $r$；我们还给出了关于 $\sqrt{J}$ 的类似结果。我们得出了由 $\overline J$ 或 $\sqrt{J}$ 定义的曲线的相应偶连系类的推论。