四次丢番图方程 $A^4+hB^4=C^4+hD^4$ 对任意整数 $h$ 是否可解？

丢番图方程 $A^4+hB^4=C^4+hD^4$，其中 $h$ 是一个固定的任意正整数，已被一些作者研究过。目前，通过计算机搜索，除了某些数值外，对于所有满足 $h \le 5000$ 且 $A, B, C, D \le 100000$ 的正整数 $h$ 值，该方程的整数解均已找到，但对于任意的正整数值 $h$，该丢番图方程的解尚未知晓。Gerardin 和 Piezas 分别在 $h$ 由 5 次和 2 次多项式给出时找到了该方程的解。Choudhry 也在 $h$ 由 2 次、3 次和 4 次多项式给出时给出了该方程的一些新解。本文利用椭圆曲线理论，研究了该丢番图方程，其中 $h$ 是一个固定的任意有理数。我们为某些 $h$ 值求出了该丢番图方程的一些解，特别是对于那些在计算机搜索范围 $A, B, C, D \le 100000$ 内尚未找到解的 $h$ 值。我们还给出了当 $h$ 由 3 次、4 次多项式给出时该丢番图方程的一些新的参数化解。最后，我们提出两个猜想，如果其中之一正确，那么我们可能对任意有理数 $h$ 求解上述丢番图方程。