混合引力中的不变解与 Noether 对称性

对称性在物理学中起着至关重要的作用，特别是 Noether 对称性，它既是选择在基础层面有动机的模型的有用工具，也是寻找特定拉格朗日量精确解的有效手段。在本工作中，我们考虑点对称性在最近提出的度规 -Palatini 混合引力中的应用，以选定 $f({\cal R})$ 的函数形式，并寻找场方程及相关 Wheeler-DeWitt (WDW) 方程的解析解。我们表明，为了找出可积的 $f({\cal R})$ 模型，拉格朗日量中的共形变换极为有用。在此背景下，我们探讨了两种形式的共形变换：$d\tau=N(a) dt$ 和 $d\tau=N(\phi) dt$。对于第一种共形变换，我们发现了两种 $f({\cal R})$ 函数情形，其场方程允许 Noether 对称性存在。在第二种情形中，拉格朗日量简化为具有广义耦合函数的 Brans-Dicke 类理论。对于每种情形，均可利用正则坐标变换场方程，从而简化动力学系统并获得精确解。此外，我们进行了量子化推导，得出了极小超空间模型的 WDW 方程。确定了 WDW 方程的 Lie 点对称性，并利用它们找到了不变解。