宇宙学中微分方程的对称性

本文旨在简要而准确地介绍研究完整系统 Lagrange 方程对称性所用的主要工具，并随后展示这些工具如何应用于现代宇宙学的主要模型中，以推导精确解并处理暗物质/能量问题。该方法中的关键角色是场方程的首积分。我们从 Lie 点对称及由其定义的首积分（即 Hojman 积分）开始。随后我们讨论 Noether 点对称及推导 Noether 积分的著名方法。借助逆 Noether 定理，我们表明每一个 Hojman 二次首积分都可关联一个 Noether 对称，其 Noether 积分即为原 Hojman 积分。需要强调的是，生成该 Noether 对称的点变换不必与定义产生 Hojman 积分的 Lie 对称的点变换重合。我们讨论了 Lie 点与 Noether 点对称同由 Lagrangian 动能定义的度规的共线变换之间的紧密联系。特别地，Noether 点对称的生成元是该度规的相似代数中的元素。当前宇宙学模型研究的关键在于引入迷你超空间，即由模型的物理变量定义的空间，而非模型演化的时空。迷你超空间中的度规由 Lagrangian 的运动部分得出，我们称之为动力度规。Lagrangian 的其余部分则为有效势。