利用 Noether 对称性给出 $f(R)$ 引力理论的约束与解析解

我们基于基本几何对称性，即 Lie 和 Noether 点对称性，对修改引力 $f(R)$ 模型进行了详细研究，这些对称性用于说明修改引力范式作为传统标量场方法的严肃替代方案的唯象可行性。具体而言，我们利用基于运动方程 Noether 对称性第一积分的模型无关选择规则，以确定 $f(R)$ 模型在平坦 FLRW 宇宙学背景下的可行性。我们计算了六个包含冷暗物质分量的修改引力模型的 Lie/Noether 点对称性。正如预期的那样，我们确认所有提出的修改引力模型都容许平庸的第一积分，即能量守恒。我们发现，只有推广了和谐 $\Lambda$ 宇宙学的 $f(R)=(R^{b}-2\Lambda)^{c}$ 模型容许额外的 Lie/Noether 点对称性。对于该 $f(R)$ 模型，非平庸 Noether（第一）积分的存在可用于确定该模型的可积性。事实上，在此背景下我们解析地解决了该问题，从而首次提供了主要宇宙学函数的演化，如宇宙的标度因子和 Hubble 膨胀率。