连续分段线性平面映射的不变图与动力学

我们考虑分段线性映射族 $$F_{a,b}(x,y)=\left(|x| - y + a, x - |y| + b\right),$$ 其中 $(a,b)\in \mathbb{R}^2$。该族属于更广泛的族, 近年来因其提供广义 Lozi 类型映射的框架而受到关注。我们的主要结果表明, 当 $a\ge 0$ 时, 所有轨迹最终都是周期性的, 且最多存在三种不同的周期行为, 由至多七个点构成。对于 $a<0$, 我们证明对每个 $b\in\mathbb{R}$, 存在一个紧致图 $\Gamma$, 其在映射 $F$ 下保持不变, 且对每个 $(x,y)\in \mathbb{R}^2$, 存在 $n\in\mathbb{N}$ (可依赖于 $x$) 使得 $F_{a,b}^n(x,y)\in \Gamma.$ 我们明确给出所有这些不变图, 并对映射在相应图上的动力学进行了特征化, 获得了诸多结果, 其中包括对 $F_{a,b}|_{\Gamma}$ 是否具有正熵或零熵的完整特征化。