二维 Zakharov-Yukawa 系统的不变 Gibbs 动力学

我们研究二维环面 $\mathbb{T}^2$ 上 Zakharov-Yukawa 系统的 Gibbs 动力学，即一个具有 Zakharov 型耦合 $(-\Delta)^\gamma$ 的薛定谔-波动方程系统。我们首先在弱非线性耦合情形（$0 \leq \gamma<1$）下构造 Gibbs 测度。结合 Oh、Tolomeo 与作者（2020）在强非线性耦合情形（$\gamma=1$）下 Gibbs 测度的不可构造性，这展现了在 $\gamma = 1$ 处的相变。我们还研究动力学问题，并证明 Zakharov-Yukawa 系统在范围 $0 \leq \gamma < \frac 13$ 内几乎必然全局适定，以及 Gibbs 测度在所得动力学下的不变性。在此动力学部分，主要步骤是证明局部适定性。我们的论证基于一阶展开与算子范数方法，经由近期 Deng、Nahmod 与 Yue（2020）工作中的随机矩阵/张量估计。在附录中，我们简要讨论 Hilbert-Schmidt 范数方法并将其与算子范数方法比较。