在 $a$ 与 $F$ 之间插值

我们研究了共形场论中球面自由能的维数延拓。在连续维数 $d$ 中，我们定义量 $\tilde F=\sin (\pi d/2)\log Z$，其中 $Z$ 是 $d$ 维圆球面上欧几里得 CFT 的路径积分。$\tilde F$ 在偶数 $d$ 中平滑地插值于 $(-1)^{d/2}\pi/2$ 倍的 $a$-反常系数，而在奇数 $d$ 中插值于 $(-1)^{(d+1)/2}$ 倍的球面自由能 $F$。我们在各种可延拓至非整数维数的幺正 CFT 示例中计算了 $\tilde F$，包括自由理论、大 $N$ 下的双迹形变以及 $\epsilon$ 展开中的微扰不动点。对于所有这些示例，$\tilde F$ 均为正，且在 RG 流下减小。利用耦合的微扰论，我们在 $d=4-\epsilon$ 的 $O(N)$ 矢量模型的 Wilson-Fisher 不动点处将 $\tilde F$ 计算至 $\epsilon^4$ 阶。我们利用此结果估算了 3 维 Ising 模型中的 $F$ 值，发现其仅比自由共形耦合标量场的 $F$ 低几个百分点。我们使用类似方法估算了 $d=3$ 中 $U(N)$ Gross-Neveu 模型和 $d=5$ 中 $O(N)$ 模型的 $F$ 值。最后，我们对具有 4 个超荷的相互作用理论进行了维数延拓，并建议可使用 $S^d$ 上适当版本的局域化精确计算 $\tilde F$。我们的方法提供了 $d=4$ 中的 $a$-极大化与 $d=3$ 中的 $F$-极大化之间的插值。